现代数学的发展要求在更广阔的框架下研究连续性,而拓扑学可以不依赖度量结构,只借助集合论手段,在更本质的层面上对连续性展开研究。事实上,在同一个集合中不同的拓扑结构下定义的很多数学概念是不同的。文章主要研究以下几种常见的拓扑空间:由度量诱导出的拓扑;乘积空间的拓扑;广义实数空间的拓扑。通过对这几种常见拓扑空间拓扑性质的研究,帮助学生加深对这些空间拓扑性质的认识,并建立学生对拓扑学的兴趣。